资金的时间价值及等值计算_图文

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    资金的时间价值与等值计算

    一、资金的时间价值
    不同时间发生的等额资金在价值上的差别称为 资金的时间价值。

    为什么资金有时间价值?
    1、从资金的提供方来看,牺牲现在的消费或者延误 自身的投资,需要补偿;从资金的使用者来看,投资可以 创造价值,即资金增值。
    2、资金使用权是稀缺资源:既不可能无偿拥有使用 权,也不可能无偿放弃使用权。

    二、资金等值计算
    资金等值:在同一系统中不同时点发生的相关资金, 数额不等但价值相等,这一现象即资金等值。
    决定资金等值的因素有三个: ① 资金的金额大小 ② 资金金额发生的时间 ③ 利率的大小
    如果两个现金流量等值,则它们在任何时间折算 的相应价值必定相等。

    单利和复利

    例:第1年初存入1000元,年利率6%,4年末可取多少钱?

    年末
    0 1

    单利 年末利息 年末本利和

    0 1000×6%=60

    1000 1060

    复利 年末利息
    0 60

    年末本利和 1000 1060

    2 1000×6%=60

    1120

    1060×6%=63.60

    1123.60

    3 1000×6%=60

    1180

    1123.60×6%=67.42

    1191.02

    4 1000×6%=60

    1240

    1191.02×6%=71.46

    1262.48

    两次土地交易是否合算?哪次更合算?
    纽约曼哈顿岛:1626年荷兰东印度公司的彼得?米纽特 (Peter Minuit)以当时约$24的工艺品向当地土著印第安 人购买。
    美国第49个州阿拉斯加:1867年以700万美元从俄 国沙皇手中购买。

    假设印第安人以每年6%的利率存入瑞士银行:

    年份 1626年 1726年

    1867年

    1926年

    2003年

    美元

    $ 24

    $ 8143 $ 30.12 M $ 9.375亿

    $ 832.8亿

    假设沙皇以每年6%的利率存入瑞士银行:

    年份 美元

    1867年 $7.0 M

    1927年 $2.31亿

    1987年 $ 76.1亿

    2003年 $193.5亿

    实际利率的计算方法

    住房按揭贷款的名义利率i =5.04%,每年计息12次
    计息期利率:r/m=4.2‰ (月息) i =(1十r/m)m ─ 1
    = (1十5.04%/12)12 ─ 1 =5.158%
    实际利率:i=5.158%(年利率)

    现金流出量:项目所需的各种费用,例如投资、成本等 现金流入量:项目带来的各种收入,例如销售收入、利润等 现金流量(cash flow):由许多次投入(支出)和产出(收入) 按时间顺序构成的动态序量

    当实际问题的现金流量的时点没有交代清楚(未指明 期末、期初)时,有以下规定:投资在期初,经营费用和 销售收入、税金在期末。

    第一年 的开始

    第二年 的开始

    0 流出

    1

    2

    3

    第一年 的结束

    现金流量图

    流入 4-N年

    以复利计算的资金等值计算公式
    一次支付终值公式 一次支付现值公式 等额分付终值公式 等额分付偿债基金公式 等额分付资金回收公式 等额分付现值公式 等差分付终值公式 等差分付现值公式 等差分付年值公式 等比分付现值与复利公式

    符号定义: P — 现值 F — 将来值 i — 年利率 n — 计息期数
    A — 年金(年值)Annuity计息期末等额发生的现金流量 G — 等差分付系列中的等差变量值Arithmetic Gradient g — 等比系列中的增减率Geometric

    ⒈一次支付终值公式

    F=?

    0 1 2 3 ………………. n-1 n 年
    P
    n年后的终值为: F = P(1+i)n = P(F/P,i,n)
    (1+i)n =(F/P,i,n)_____一次支付终值系数 (Compound amount factor , single payment)

    一份遗书上规定有250 000元留给未成年的女儿,但是, 暂由她的监护人保管8年。若这笔资金的年利率是 5%,问8 年后这位女孩可以得到多少钱?
    F=?

    0

    1

    2

    3

    n-1 n

    P
    F=250 000×(F/P,5%,8) = 250 000 ×1.477 = 369 250(元)

    72法则
    72法则:现值翻一倍的时间大约等于72除以利率。 翻倍时间=72/利率
    例:现在存入100元,i=8%,45年后你可以得到多少? FV=100(1+8%)45=3192元
    翻倍时间=72/8=9,则45年将翻5倍(45/9), FV=100×25 =3200元。

    ⒉ 一次支付现值公式
    F

    0 1 2 3 ……………….

    n-1 n 年

    P =?

    P = F(1+i)-n= F(P/F,i,n) (1+i)-n =(P/F,i,n)— 一次支付现值系数 (Present Worth Factor, Single Payment)

    某人计划5年后从银行提取1万元,如果银行利率为12%, 问现在应存入银行多少钱?若年利率为3.60 %呢?
    F=1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    P=?

    解:P=1×(P/F,12%,5)= 1× 0.5674

    =0.5674 (万元)

    若i=3.6%,需求取(P/F,3.6%,5)= ? 已知(P/F,3%,5)=0.8626, (P/F,4%,5)= 0.8219 可采用线性内插法计算P值。

    ⒊ 等额分付终值公式

    0 1 2 3 ……………….

    A AA

    ............

    F=?
    n-1 n 年
    AA

    F = A + A (1+ i) +L +A (1+ )i n-2 + A(1 + )i n-1
    F(1 i) = A(1 i) A(1 i)2 A(1 i)n-1 A(1 i)n

    F (1 i)- F = A(1 i)n - A
    Fi = A (1 i)n - 1

    (1+i)n -1 F =A i

    = A(F/A,i,n)

    (1+i)n -1 i

    =(F/A,i,n) — 等额分付终值系数 (compound amount factor,uniform series)

    某厂连续3年,每年末向银行存款1000万元,利率 10%,问3年末本利和是多少?
    F=1000*(F/A,10%,3)=3310(万元)

    ⒋ 等额分付偿债(积累)基金公式
    F

    0 1 2 3 ……………….

    n-1 n



    A AA

    ………………. A A=?

    A=F

    i

    = F(A/F,i,n)

    (1+i)n -1

    i (1+i)n -1

    =(A/F,i,n)— 等额分付偿债基金系数 (Sinking Fund Factor)

    某工厂计划自筹资金于5年后新建一个基本生产车间,预 计需要投资5000万元。年利率5%,从现在起每年年末应等额 存入银行多少钱?
    A=F*(A/F,5%,5) =5000*0.181 =905(万元)

    5. 等额分付现值公式

    A A A ………………. A A

    0 12 3
    P=?

    ………………. n-1 n 年

    P

    =

    A

    (1 i)n -1 i(1 i)n

    =

    A(P

    /

    A,i, n)

    (1+i)n -1 i (1+i)n

    =(P/A,i,n)— 等额分付现值系数

    (Present Worth Factor,Uniform Series)

    一位发明者转让其专利使用权,一种收益方式在今后五 年里每年收到12000元,随后,又连续7年每年收到6000元, 另一种是一次性付款。在不考虑税收的情况下,如要求年收 益率为10%,他愿意以多大的价格一次性出让他的专有权?

    i=10%

    0

    1

    A1 =12000

    2

    3

    5

    6

    A2 =6000

    11

    12

    P=?
    P=A1(P/A,i ,n)+ A2(P/A,i ,n) (P/F,i ,n)
    = 12000(P/A,10% ,5)+ 6000(P/A,10% ,7) (P/F,10%,5) = 63625 (元)

    6. 等额分付资金回收公式

    A A A ………………. ?=A A

    0 1 2 3 ……………….
    P

    n-1 n 年

    A

    =

    i

    F


    (1



    i)

    n

    - 1

    F = P(1 i)n

    于是

    i(1+i)n A = P (1+i)n -1

    = P(A/P,i,n)

    i (1+i)n (1+i)n -1

    =(A/P,i,n)_____资金回收系数 (capital recovery factor)

    某工程项目一次投资30000元,年利率8%,分5年每年年 末等额回收,问每年至少回收多少才能收回全部投资?
    A=P*(A/P,8%,5) =30000*0.2505 =7515(万元)

    某新工程项目欲投资200万元,工程1年建成,生产经营期 为9年,期末不计算余值。期望投资收益率为12%,问每年至 少应等额回收多少金额?

    0 123

    A 4 5 6 7 8 9 10

    P

    A = 200 (F / P,12%,1)( A / P,12%,9)

    = 200 *1.120 *0.1877

    = 42.0448

    从现在起,若每年年末存入银行40元,连续存7次,按 年复利利率6%计,7年末可得多少?若是每年年头存入40 元,7年末可得多少?

    7. 等差分付终值公式

    (n-1)G (n-2)G

    4G G 2G 3G 012 34 5
    P

    ……

    n-1 n 年 F

    F = G (F / A,i, n -1) G (F / A,i, n - 2) G (F / A, i,2) G (F / A, i,1)

    =

    (1 i)n-1

    G

    i

    - 1 (1 i)n-2

    G

    i

    - 1



    (1 i)2

    G

    i

    -

    1



    G



    (1



    i)
    i

    -

    1

    =

    G i

    (1


    i)n
    i

    -1

    -

    n



    1 i



    (1



    i)n
    i

    -

    1

    -

    n

    =(F

    /

    G,

    i,

    n)

    等差分付终值系数 (compound amount factor, arithmetic gradient)

    8. 等差分付现值公式

    F = P(1 i)n

    P(1

    i)n

    =

    G i

    (1


    i)n
    i

    -1

    -

    n



    P

    =

    (1 i)n - in

    G

    i2 (1 i)n

    -1

    =

    G(P

    /

    G,

    i,

    n)



    (1

    i)n i2 (1

    - in
    i)n

    -1

    =

    (P

    /

    G,

    i,

    n)

    等差分付现值系数 (arithmetic gradient to present worth )

    9. 等差分付年值公式

    该公式是把等差支付系列换算成等额支付系列
    A = P( A / P,i,n)

    P = G( P / G,i,n)

    A = G(P / G,i, n)(A / P,i, n)

    (1 i)n - in -1 i(1 i)n

    = G

    i 2 (1 i)n





    (1



    i)n

    - 1

    =

    G



    (1
    i

    i)n (1

    -
    i)n

    in -

    1

    1

    (1 i)n - in -
    i (1 i)n -1

    1

    =(A

    /

    G,

    i,

    n)

    等差分付年值系数 (arithmetic gradient conversion factor)
    即 A = G(P / G,i, n)(A / P,i, n) = G(A / G,i, n)

    某厂第一年年末销售利润额为50万元,预测在以后4年 每年将递增10万元,年利率为10%,如果换算成5年的等额 支付系列,其年值是多少?
    A = A1 G(A/ G,i, n) = 50 10 (A / G,10%,5) = 68.101

    已知某机床售价40000元,可使用10年,不计算残值。据 估算第一年维修费为1000元,以后每年按300元递增,i=15% ,求该机床所耗费的全部费用的现值。

    0 1 23

    ……

    8 9 10 年

    1000 1300 1600 ……

    3100 3400 3700

    40000
    P = 40000 A(P / A,15%,10) G(P / G,15%,10)
    = 400001000*5.019 G *(A / G,15%,10)(P / A,15%,10) = 400001000*5.019 300*3.383*5.019 = 400001000*5.019 300*16.98 = 50113

    10. 等比分付现值与复利公式

    A(1+g)n-1

    A(1+g)n-2

    A(1+g)2 A A(1+g)
    A(1+g)3

    01 2 34

    ……

    n-1 n

    现金流公式:

    At = A(1 )g t-1 t=1,…,n

    其中g为现金流周期增减率

    经推导,现值公式为:

    P

    =

    A1

    (1 g)n(1
    i-g

    )i -n



    ig

    P = nA

    i=g

    1i

    1记- (1




    g )n (1
    i-g



    i)-

    n



    =

    (

    P

    /

    A,

    g,

    i,

    n)

    等比分付现值系数 (geometric gradient to present worth )

    复利公式:

    F

    =

    P(1

    i)n

    =

    A(1

    i)n

    1

    (1 g)n(1
    i-g

    )i -n





    (1



    i

    )n

    1

    -

    (1

    g)n(1
    i-g



    i

    )-n



    =(F

    /

    A,g,

    i,

    n)

    某厂投入32000元增添一套生产设备,预计第一年产品销 售额可增加20000元,以后逐年年收入增加率为7%,计划将每 年收入的10%按年利率5%存入银行,问10年后这笔存款可否 换回一套新设备?

    01 2 3

    10 年

    2000 2000 (1+0.07)

    2000(1+0.07)9

    P

    =

    2000(P

    /

    A,7%,5%,10)

    =

    20001

    -

    (1



    0.07)10
    0.05 -

    (1 0.05)-10
    0.07



    =

    20766.02

    F = 20766.02(F / P,5%,10) = 33825.66 >32000

    所以10年后可以换一台新设备

    在技术经济分析的实践中,有时计息周期是小于一年 的,如季、半年、月、周、日…等,这时根据支付周期与 计息周期的关系可分为三种情况来进行分析。
    计息周期:某时间计息一次,表明计息且付息,即按复利计算 支付周期:指现金流量的发生周期,亦称支付期。

    (一)计息周期等于支付期的情况
    设年利率12%,每季计息一次,从现在起三年内以每季 末200元的等额值收入,问与其等值的终值是多少。
    200

    01234 1年

    8

    12(季度)

    2年

    3年

    计息周期利率 i = r = 0.12 = 0.03 m4

    计息期数 n = 43 =1(2 次)

    F = A(F / A,i, n) = 200(F / A,3%,12) = 2838 .4

    (二)计息期小于支付期的情况

    某人每半年存入银行500元,共三年,年利率8%,每季 复利一次,试问3年底他的帐户总额。

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12(季)

    01

    2

    34

    5

    6(半年)

    500

    方法一:先求计息期实际利率,再进行复利计算

    每季复利一次,则季利率 计息周期总数为12(季)

    i季

    =

    8% 4

    =

    2%

    F = 500(F / P,2%,10) 500(F / P,2%,8) 500(F / P,2%,6) 500(F / P,2%,4) 500 (F / P,2%,2) 500 = 3319 .(8 元)

    方法二:把每个支付周期期末发生的现金流换算为以计息期 为基础的等额系列,再求复利和
    A季 = 500(A / F,2%,2) = 247 .5(3 元)
    F = 247.53(F / A,2%,12) = 3319 .(8 元)

    方法三:先求支付周期的实际利率,再以支付期为基础进 行复利计算:
    i = (1 2%)2 -1 = 4.04% F = 500(F / A,4.04%,6) = 500 *6.640 = 3319 .(9 元)

    (三)计息期大于支付期的情况

    计息期间的存款应放在期末,而计息期间的提款应放在期初。

    例:每季度计息一次,年利率8%,求年底帐户总额。 250

    提款 0

    100 123

    存款 400

    45 100

    6 7 8 9 10 11 12(月) 100

    解:按上述原则,现金流量图可改画为

    200

    250

    100

    0

    1

    2



    3

    4度

    100

    300 400

    F = (400 - 200 )(F / P,2%,4) -100(F / P,2%,3) (300 - 250 )(F / P,2%,2) 100
    = 262 .(3 元)

    连续复利

    1. 连续复利(公式)系数

    现金流是离散的,复利是连续的,即 m

    i = 1 mr m - 1

    (F

    /

    P,i,n)

    =

    (1 i)n

    =

    1

    1

    r m m

    n - 1


    =

    1

    r mn m

    令 m 则有 (F / P,r,n) = enr

    同理 ( P / F,r,n) = e-nr

    ( ) (P

    /

    A,

    r,

    n

    )

    =

    e

    e
    nr

    nr
    e

    -1 r -1

    2. 连续现金流量的连续复利计算
    此时现金流也是连续的,计算公式虽然较复杂,但在 某些情况下,可能也是符合工程项目资金活动实际的。关 键是现金流量的数学表达。

    有人目前借入2000元,在今后2年中分24次偿还。每次偿 还99.80元,复利按月计算,试求月实际利率、年名义利率和 年实际利率。

    99.80 = 2000( A / P,i,24)



    ( A / P,i,24) = 99.80 = 0.0499
    2000

    查表可得 ic = 1.5% ——月实际利率

    年名义利率 r = ic 12 = 18%

    年实际利率

    i

    =

    1

    mr

    m

    -1

    =

    1

    0.18 12 12

    -

    1

    =

    19.56%